همتر از مقادیر متوسطگیری شده باشند. بنابراین حجم کنترل فرضی باید به اندازهی کافی بزرگ باشد تا بتوان نوسانات میکروسکوپی را نادیده گرفت و از طرفی باید به اندازهی کافی کوچک باشد تا از تغییرات ماکروسکوپی خارج نشود ( شکل 2-1). در شکل (2-1) در حجم کنترل مشخص شده بدلیل محدود بودن نوسانات مولکولی در حجم کنترل، میتوان سیال را پیوسته در نظر گرفت.
شکل 2-1- نمونهای از حجم کنترل (ناحیه سایهدار) که در آن فرض پیوستگی برقرار است
در حل لاگرانژی به دلیل نوسانات زیاد ملکولی سیال نمیتوان محیط را پیوسته در نظر گرفت در این حالت نمیتوان یک حجم کنترل فرضی که متشکل از هزاران ملکول سیال است در نظر گرفت بلکه هر ملکول خواص مکانیکی و ترمودینامیکی جداگانه ای دارد و در نتیجه معادلات باید برای هر ملکول بطور جداگانه نوشته شود. به عبارتی هر ملکول یک حجم کنترل بوده و بنابراین باید معادلات را برای هر ملکول حل نمود. بدیهی است که حل معادلات پیوستگی (حل اویلری) بسیار سادهتر از حل ملکولی (حل لاگرانژی) است. به عنوان مثال برای جریان هوا درون یک کانال در مقیاس ماکروسکوپی برای حالتی که سرعت ماکروسکوپی از 0 تا m/s1 تغییر میکند، می توان جریان را موازی با محور کانال فرض کرد اما در این حالت سرعت ملکولهای سیال از مرتبهی km/s1 است که در هر جهتی ممکن است باشد.
هر حجم کنترل در حالت ماکروسکوپی شامل هزاران ملکول سیال است. در این حالت برای هر حجم کنترل فقط یک دسته معادله پیوستگی، ممنتوم و انرژی استفاده خواهد شد اما در حالت میکروسکوپی برای حل جریان به تعداد ملکولهای سیال معادلات پیوستگی، ممنتوم و انرژی نیاز است. با افزایش تعداد معادلات قدرت رایانه مورد نیاز برای حل و همین طور زمان محاسبه بالا میرود بطوریکه حل میکروسکوپی با استفاده از روشهای 27CFD هزینه و تکنولوژی بالایی نیاز دارد و نیازمند ابر رایانههای بسیار پرقدرتی میباشد. هر چند روشهای جدیدی مانند 28LBM بوجود آمدند که قادر به حل میکروسکوپی جریان میباشند اما این روشها هنوز دارای نواقص زیادی هستند و توانایی حل بسیاری از جریانها را ندارند.
برای تشخیص پیوسته یا ناپیوسته بودن جریان معیاری به نام عدد نادسن29 وجود دارد که به صورت زیر تعریف میشود:
(1-5) در عبارت فوق، متوسط فاصله بین ملکولهای سیال و طول مشخصهی هندسه مورد تحلیل است. رژیم جریان بر اساس عدد نادسن به چهار دسته تقسیم خواهد شد. این چهار دسته عبارتند از:
1- برای ، در این حالت جریان پیوسته بوده و شرط مرزی عدم لغزش30 برقرار میباشد. در این حالت استفاده از معادلات ناویراستوکس قابل قبول میباشد.
2- برای ، در این حالت نیز جریان پیوسته بوده اما شرط مرزی عدم لغزش برقرار نیست و جریان از نوع جریان لغزشی میباشد. در این حالت نیز استفاده از معادلات ناویراستوکس قابل قبول میباشد.
3- برای ، در این حالت جریان از نوع جریان انتقالی میباشد. در این نوع از جریانها استفاده از معادلات ناویراستوکس چندان قابل قبول نبوده و دارای خطا میباشد. هر چند برخوردهای بین مولکولی سیال هنوز چندان قابل اغماض نبوده و باید به حساب آید.
4- برای ، در این حالت جریان یک جریان مولکولی است. در این حالت برخوردهای بین مولکولی سیال در مقایسه با برخوردهای بین ملکولهای سیال و دیواره ناچیز است.
در شکل (2-2) مدلهای جریان مربوط به عدد نادسن بطور خلاصه ارائه گردیده است.
شکل 2-2- رژیمهای جریان گاز بر پایهی عدد نادسن.
2-2- تعریف مسئله
مسأله مورد توجه جریانی است که تنها عامل حرکت در آن شناوری است. این جریان برای سیال پایه تراکمناپذیر آب داخل یک حفرهی قائمالزاویه با طول و عرض متفاوت در نظر گرفته میشود بطوری که نسبت عرض به طول برابر با 1، 0.75، 0.5، 0.25، 0.2 و 0.1 میباشد. دیوارههای عمودی تکدما و دیوارههای افقی عایقاند. دیواره سمت چپ در دمای بالاتر و دیواره سمت راست در دمای پایینتر از آن قرار دارد. سیال پایهی نیوتنی فرض شده و تغییرات چگالی به گونهای در نظر گرفته شده است که عامل حرکت را میتوان فقط به تغییرات چگالی نسبت داد. تنها نیروی جسمی وارد بر سیال نیروی ثقلی است و تنها چشمه انرژی حرارتی، دیوارهها هستند. به عبارت بهتر انتقال حرارت از دیوارهها، بسیار بزرگتر از حرارت ناشی از رفتار ویسکوز جریان است. بنابراین هرگونه اثر حرارتی که از میدان فشار ناشی شود، قابل صرف نظرکردن میباشد.
روند حل عددی جریان و فرضیات بکار گرفته شده بهقرار زیر است. ابتدا جریان کاملا ساکن است و در دمای یکنواخت اولیه که میانگین دمای دیوارههای سرد و گرم است، قرار دارد. سپس جریان ویسکوز و تراکم ناپذیر، با استفاده از فرض بوزینسک داخل یک محوطه بسته دو بعدی با حل مسأله مقادیر شرایط اولیه شروع میشود. هر چهار دیوار حفره صلب و غیر لغزشی فرض میشوند. به این ترتیب و با استفاده از فرضیات اشاره شده به حل عددی جریان پرداخته میشود. شکل (2-3) هندسه و شرایط مرزی این حفره را نشان میدهد.

شکل 2-3- هندسهی مورد مطالعه.
2-3- فیزیک جریان آرام داخل حفره
هندسهای که در این تحقیق مورد مطالعه قرار میگیرد، حفره قائمالزاویه است که در آن گرمایش از طریق دیوارههای کناری اتفاق میافتد. جابهجایی طبیعی در حفرهی قائمالزاویه توسط حرکت چرخشی آن قابل تشخیص است که اگر دیواره چپ از دیواره راست گرم تر باشد، حرکت چرخشی سیال در جهت حرکت عقربههای ساعت خواهد بود. در رژیم آرام، سه مشخصه ساختارهای جریان داخل حفره دوبعدی عبارت از موارد زیر است که در شکل (2-4) نشان داده شده است. این شکل نشان دهنده بردارهای سرعت در یک جریان آرام است که توسط دادههای تحقیق حاضر به دست آمده است. البته بحث مفصل نتایج حاضر در فصل نتایج خواهد آمد.
1) لایه مرزی عمودی در طول دیوارههای چپ و راست.
2) لایه مرزی افقی در طول دیوارههای بالا و پایین.
3) ناحیه پایدار و نسبتا ساکن مرکز حفره.

شکل 2-4- ساختارهای جریان در رژیم آرام لایه مرزی عمودی شباهت زیادی به لایه مرزی تک صفحه عمودی گرم در محیط تکدما دارد که توسط هنکس [16] به شکل گستردهای مورد مطالعه قرار گرفته است. لایه مرزی عمودی در طول دیوارههای چپ و راست دارای جریان سریع تر از لایه مرزی افقی و باریکتر نسبت به آن است. در مقایسه با آن، ناحیه مرکزی حفره (هسته) تا عدد رایلی بسیار بالایی نیز نسبتا پایدار و ساکن باقی میماند.